IB数学AA知识点精讲：一篇文章带你复习完复利计算

今天来给大家精讲一下一个与买房息息相关的IB数学AA知识点——Compound Interest复利，包括与之相关的等比数列知识、利息计算公式等内容。复利是IB数学AA和AI的通用知识点，所以选了AI的同学也可以适合阅读哦。

IB数学AA介绍

IB数学作为IBDP国际课程组课程之一，在2019年进行改革课程，将于2021年5月进行首次评估。

Math新的课程设置将过去的Core与Option部分整合起来，分为两大类：Analysisand Approaches（简称AA）与 Applications and Interpretations（简称AI）

AA的SL和HL，AI的SL和HL，都是围绕以下5大知识点。

• Number and Algebra数与代数

• Functions函数

• Geometry and Trigonometry几何与三角

• Probability and Statistics统计学和概率论

• Calculus微积分

四个不同的科目对以下5个模块知识在学习内容广度和深度都有不同的体现和要求。

IB数学AA 的学法和传统数学比较像，要搞清定义，搞清定理适用范围，记准公式，学透例题，练熟运算，这些都是严谨学好数学必备的，学好中国国际学校数学也是靠这一套。

AI 需要记忆一些“模型”，因为数学实际生活中的应用是千变万化的，我们要选取合适的模型去解决他们。

IB数学AA知识点：复利计算

复利(Compound Interest),是指在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式

Geometric sequence等比数学

首先，在介绍复利之前，我们需要复习一下等比数列的相关知识，general form：Un=U1*r^(n-1),sum: 

当然还有common ratio公比这个概念。

利息的两种模式

生活中，常见的利息interest有两种形式，simple interest（单利） and compound interest（复利），单利是指每次结息日，支付此周期内的利息，下一周期仍以原来的本金利息，而复利是指在结息日不支付利息，将利息计入下一周期的本金中计算利息。下表是存款100元，单利与复利之间的差别。

                                        Amount | Simple interest at 5% | Compound interestat 5% 

                                                                                                compounded annually

就存款而言，复利的收益比较明显，而如果是贷款，那么复利就是借款人的噩梦。

存款模式下：

simple interest的计算很简单，本金x利率就是我们的利息。

而compound interest的计算就涉及到geometric sequence的知识，一般情况下，PV（present value）代表本金，r%是利率，FV（future value）是未来我们将得到的本息和，复利相当于以PV为首项，1+r%为公比的一个等比数列，公式如下

其实计算的是第n年的终值，如果以PV为首项，是第n+1项。

而syllabus中涉及到生活中常见的一类变化，也就是计息的周期不是以年为单位，而是半年度half-yearly、季度quarterly、月度monthly等，这时候，如果已知的是年利率r%，需要这算成相应的周期利率，如季度利率为r/4*100，相应的周期数也就是4*n，公式如下

利息计算内容本身其实就这么多，简单的一个公式就可以解决，需要注意的是利率r%是年利率还是其他周期利率，计息周期与利率是否匹配，是否需要相应的折算。

以上这类计算对应生活中的存款、投资等行为，而生活中更常见的还贷，是分期偿还amortization的内容，下期详细介绍，同时介绍一些经济相关的知识。

当然，在IB数学AA考试中，我们可以使用GDC计算器的finance模块快速计算结果，syllabus中并未要求我们掌握推导的过程，但有助于我们的解题。

贷款偿还实例计算

生活中，贷款的偿还方式有两种，等额本金equality corpus和等额本息equality corpus and interest，相比于到期一次还清的方式，两种分期偿还均可以少付一些利息。

等额本金意思是每期都偿还相同的本金，利息是变动的，还款额递减，总利息相对较少。

等额本息意思是每期偿还的本金与利息和是相同的。

下面以实例来计算下：

贷款12万，年利率6%，月利率就是0.5%，贷一年，分期12月支付。（简化模型方便计算）

如果是到期一次还清，12*（1+6%）=12.72，是一个简单的单利计算。

a.等额本金：12万本金平分到12个月，每月1万

第一个月，支付本金1万 +利息。利息=12*0.5%=0.06

第二个月，支付本金1万 +利息。利息=（12-1）*0.5%=0.055----偿还了1万本金后剩余部分计息

第12个月，支付本金1万+利息。利息=1*0.5%=0.005

我们可以看到每期支付的总额是递减的，是因为剩余贷款随着本金的偿还在减少，每月计息的金额是递减的，利息是一个等差数列，总利息为（0.005+0.06）*12/2=0.39，相比较0.72要少很多。

b.等额本息：

由于每期还款总额相同，因此它是一个逆推后得到的计算结果。

设每月还款总额为A，贷款金额M，月利率i

第一个月末剩余欠款，A1=M（1+i）-A---每月偿还相同本息和A，首月是全款计息

第二个月末剩余欠款，A2=A1（1+i）-A=M*（1+i）^2-A*[(1+i)+1] ---偿还了A后，剩余部分计息

第三个月末剩余欠款，A3=A2（1+i）-A=M*（1+i）^3-A*[（1+i）^2+(1+i)+1]

第n个月末剩余欠款，An= M*（1+i）^n-A*[（1+i）^n-1]/i

后面的部分是一个等比数列，首项为1，公比为1+i求和所得。

最后一期，还清所有的钱，欠款为0，An=0，可以得到公式

A=M*i*（1+i）^n/[（1+i）^n-1]

这样计算的A是1.0328，总利息是0.328*12=0.3936，相对等额本金多一些。

当然，在IB数学AA考试中，我们可以直接利用GDC计算器进行计算，amortization分期偿还一般指的是等额本息equality corpus and interest的还款方式。

但是掌握这个公式的推导还是很有意义的，首先它本身就是一个deduction的过程，与geometric sequence结合后，得到结果，对于知识的综合运用非常有帮助，与实际问题更多的结合，进阶应用能力，也是AI的命题方向。

LPR的意义

LPR出现之前，贷款利率=基准利率*（1+浮动点数），其中，基准利率是央行发布给商业银行的贷款指导性利率，目前1年以内4.35%，1-5年4.75%，5年以上4.9%，主要由人民银行决定，而浮动点数是一个综合因素导致的结果，由于政策性或者商业银行规定或者个人信用情况综合决定，上浮或下浮。这样不同的人在不同时期的贷款利率就不同了。

而通过政策调整利率，是国家调控经济的有效手段，我国的利率双轨制，央行通过MLF（中期借贷便利，也有个好吃的名字“麻辣粉”），将货币贷给商业银行，商业银行支付利息，商业银行通过贷款利率将货币贷给个人或企业，而这个过程中，调节基准利率不能很好的体现市场意愿，违背了市场化的需求，为了解决这个问题，LPR出现了。

LPR（loan primate rate）=MLF+浮动点数，也叫货币市场报价利率，浮动点数由18家商业银行向央行上报，根据各银行的风险、盈利情况，去掉最高和最低分，取平均值，这样更能够跟踪市场的变化，而央行需要调控市场的时候，可以直接调节MLF，更加市场化的货币政策，有利于经济的发展。

IB数学AA复利相关知识点就介绍到这里。IB数学改革为AA和AI两大分支后，更加考验学员的综合应用和探究能力，知识面的广泛是冲7分的主要难点。如果你想针对性解决这个难点，或者遇到了其他学习问题，欢迎点击预约试听【橡沐IB同步培训班】，全球海归授课，紧贴IBO新政策，帮助学员精准把握考试动向，弥补以往学习过程中的遗漏点，完善知识框架与国际课程思维，让IB 40+不再遥远，让你。

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