AP微积分中值定理公式分享 会推导公式才能灵活应用哦

在AP微积分中，中值定理是一个很高频的考点，尤其是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，很多人都感觉会傻傻分不清楚。那么下面我们就想来给大家有关AP微积分中值定理公式。

微分中值定理无论是在理论 研究中还是在实际实践中都有这非常广泛的应用。

罗尔中值定理

罗尔中值定理是在费马引理的基础上做了一点引申，罗尔中值定理是，如果某个函数满足：在闭区间[a, b]上连续f(a) = f(b)在开区间(a, b)上可导那么，在区间(a, b)当中必然存在一个点X0，使得。

这个中值定理也很容易想明白，既然函数在两个端点处值相等，那么无论它是先减再增还是先增再减或者是不增不减，那么显然都会存在至少一个极值点，既然存在极值点，那么根据费马引理显然就有导数为0的点。

拉格朗日中值定理  

罗尔定理简单易懂，但是有一个小问题就是限制条件太死，函数上不一定能找到两个点相等。针对这个问题，拉格朗日对这个公式进行了拓展。他说，只要函数f(X0)满足：在闭区间[a, b]连续在开区间(a, b)可导那么就可以找到一个点使得：针对这个式子，我们做一个变形：

这个我们都非常熟悉，就是就是a和b两点连线的斜率。而则是函数在这点的切线，从几何角度上来看，说明存在一个点的切线和端点连线平行。

从定理上来看，如果a和b点的函数值相等，这个式子和罗尔定理完全一样，也就是说罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。

柯西中值定理  

柯西中值定理的图像和拉格朗日的一模一样，但是含义加深了一层。在我们之前的讨论当中，我们画的是y随着x变化的函数曲线。但是有可能X轴本身也是一个函数。也就是说之前我们画的是y=f(x)的图像，现在可能变成了的图像，换句话说X轴和Y轴都是x的因变量，这里的小写的x成了一个参数。

在这样的函数当中，某一点的切线的斜率成了: 。柯西中值定理正是作用于这样的函数上，如果函数f，F满足：在闭区间[a, b]上连续在开区间(a, b)上可导对于任意，那么至少在(a, b)当中存在一点满足

虽然这个公式看起来非常虎，但是证明方法和上面大同小异，我们引入一个基本上一样的辅助函数：

证明方法也是一样，可以发现这个辅助函数是满足罗尔定理的，那么我们对它求导，一模一样的方法就可以得到证明。

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