AMC10竞赛知识点：费马小定理的应用

本期想来给大家分享一些AMC10竞赛知识点，这个费马小定理是AMC10数论部分常常会用到的，下面就一起来跟我们一起看看这个定理的推理和应用吧！

费马小定理是业余数学家费马于1636年提出的。费马小定理又称费尔马小定理，定理内容是：如果p是质数，且(a,p)=1（表示a和p互质），那么ap-1≡1(mod p)（“≡”是同余符号，a≡b(mod m)表示a和b关于模m同余）。说到这也许很多小伙伴就很好奇了，费马小定理是如何证明的呢，其实它的证明并不复杂。

#费马小定理的证明#

证：∵ p为质数

       ∴ 1,2,3，......，p-1模p余1~p-1（完全剩余系）

       又∵(a,p)=1

       ∴ a,2a,3a,......,a·(p-1)也是模p余1~p-1（完全剩余系）

       ∴ 1×2×3×......×(p-1)≡a×2a×3a×......×(p-1)a (mod p)

       即(p-1)！≡ap-1·(p-1)！(mod p)

       ∴ p|(p-1)！·(ap-1-1)

       又∵(p,(p-1)！)=1

       ∴ p|ap-1-1

       ∴ ap-1≡1（mod p）

       ∴ 得证

费马小定理的逆定理

根据费马小定理，其逆定理就是如果ap-1≡1(mod p)，那么p是质数，且(a,p)=1。数学家们花了很多很多年的时间终于找到了一个最小的合数，它竟然满足ap-1≡1(mod p)，但却不是质数。这个著名的最小伪素数就是341，它是31和11的乘积，一个彻彻底底的合数。后来数学家们证明出这样的伪素数有无数个。由此可知，费马小定理的逆定理不成立。

费马小定理的变式

费马小定理还有一个变式，即：当p为任意素数，a为任意整数时，ap≡a(mod p)。

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